Paradoxes (fragments)

Analyse

Sous le titre de Paradoxes, on rassemble les arguments de Zénon d'Élée, transmis pour l'essentiel par ses adversaires. L'ouvrage d'origine est perdu, son titre véritable inconnu, et les textes qui nous restent tiennent en quelques pages. C'est pourtant l'un des corpus les plus commentés de toute l'histoire de la philosophie : vingt-cinq siècles de mathématiciens, de physiciens et de logiciens s'y sont arrêtés.

Un livre dont il ne reste que des échos

Platon, dans le Parménide, décrit une lecture publique du livre de Zénon à Athènes. Il en donne même l'intention : montrer que ceux qui se moquent de Parménide en affirmant la pluralité des choses s'exposent à des conséquences bien plus ridicules encore. C'est le seul témoignage ancien sur la structure de l'ouvrage. Il suggère une suite d'hypothèses, chacune conduisant à deux conclusions opposées.

Proclus, bien plus tard, parle d'une quarantaine d'arguments. Nous en connaissons moins d'une dizaine. Le titre Paradoxes, comme celui de Sur la nature qu'on rencontre parfois, est une commodité moderne : rien n'indique que Zénon ait nommé son livre.

La transmission s'est faite par deux canaux distincts, et cette dualité commande la lecture. Les arguments contre la pluralité nous viennent de Simplicius, commentateur néoplatonicien du VIe siècle de notre ère, qui cite ce qu'il présente comme les mots mêmes de Zénon, en signalant qu'il recopie longuement parce que le livre est devenu rare. Les arguments contre le mouvement, eux, ne survivent que dans le résumé qu'en donne Aristote au livre VI de la Physique, pour les réfuter. Vous ne lisez donc jamais Zénon sur le mouvement : vous lisez la reformulation d'un adversaire, dans un vocabulaire qui n'est pas le sien.

Les arguments contre la pluralité

L'argument de la grandeur

Supposez que les choses soient multiples. Chacune est alors composée de parties. Ces parties ont-elles une grandeur ? Si elles n'en ont aucune, leur addition ne produira jamais rien d'étendu : ajouter du sans-grandeur à du sans-grandeur ne fait pas grandir. Le monde serait donc sans étendue. Si au contraire chaque partie a une grandeur, et qu'il y en a une infinité, alors toute chose serait infiniment grande. Le multiple serait ainsi à la fois si petit qu'il n'aurait pas de grandeur et si grand qu'il serait illimité.

L'argument du nombre

Si les choses sont multiples, elles sont exactement en aussi grand nombre qu'elles le sont, ni plus ni moins : leur nombre est donc fini. Mais entre deux choses distinctes, il y en a toujours une troisième qui les sépare, et entre celle-ci et les précédentes encore d'autres : leur nombre est donc infini. La même hypothèse donne deux réponses incompatibles.

L'argument du lieu

Si tout ce qui est se trouve en un lieu, ce lieu lui-même, étant quelque chose, doit être en un lieu, et ainsi de suite sans fin. La notion de lieu se détruit elle-même par régression.

L'argument du grain de mil

Celui-ci vise la perception. Un boisseau de mil qui tombe fait du bruit. Si le bruit du tout est la somme des bruits des parties, chaque grain, et chaque millième de grain, devrait produire son bruit. Or vous n'entendez rien lorsqu'un seul grain tombe. Ou bien la somme n'est pas une somme, ou bien vos sens vous trompent.

Les quatre paradoxes du mouvement

La dichotomie

Pour parcourir une distance, il faut d'abord en parcourir la moitié. Mais avant cette moitié, il faut parcourir la moitié de la moitié, et ainsi indéfiniment. Il y a donc une infinité d'étapes à franchir avant la première. Le mouvement ne peut pas même commencer.

Achille et la tortue

Le plus rapide ne rattrapera jamais le plus lent parti devant lui. Quand Achille atteint le point d'où la tortue est partie, celle-ci a avancé un peu. Quand il atteint ce nouveau point, elle a encore avancé. L'écart diminue sans jamais s'annuler, et le poursuivant reste toujours en retard d'un intervalle.

La flèche

À chaque instant de son vol, la flèche occupe un espace exactement égal à elle-même. Ce qui occupe un espace égal à soi est au repos. La flèche est donc au repos à chaque instant. Or le temps de son vol n'est fait que d'instants. Une flèche en vol serait ainsi une somme d'immobilités.

Le stade

Le plus obscur des quatre. Deux rangées de corps de taille égale se croisent en sens inverse le long d'une rangée immobile. Le temps que met un corps à dépasser les corps mobiles n'est pas le même que celui qu'il met à dépasser les corps immobiles, alors que le nombre de corps dépassés est identique. Zénon en tire qu'une moitié de temps égale son double. Beaucoup de commentateurs jugent ce paradoxe mal transmis, et certains le tiennent pour inintelligible dans l'état où Aristote nous le livre.

Ce que ces arguments attaquent réellement

On répète parfois que Zénon niait que vous puissiez traverser une pièce. C'est une lecture paresseuse. Ce qui est visé, ce n'est pas l'expérience du mouvement, c'est la manière dont nous nous la représentons : comme une série de positions occupées, dans une série d'instants. Les paradoxes exploitent la tension entre deux exigences incompatibles - un trajet doit être divisible à l'infini, un trajet doit être parcouru en un nombre fini d'actes.

Cette tension est celle du continu et du discret. Elle n'a rien d'une plaisanterie sophistique. Elle a obligé la philosophie et les mathématiques à forger successivement plusieurs outils : la distinction aristotélicienne entre infini en acte et infini en puissance, le calcul des séries convergentes, la définition rigoureuse de la limite au XIXe siècle, la théorie des ensembles.

La postérité

Aristote, le premier, apporte une réponse : une grandeur est divisible à l'infini en puissance, jamais en acte, de sorte qu'aucune infinité réelle n'a à être franchie. Sa solution tiendra jusqu'à l'âge classique.

Les mathématiciens prennent ensuite le relais. Une somme d'une infinité de termes décroissants peut être finie : la distance totale d'Achille converge, le temps aussi. Beaucoup de manuels concluent là que Zénon s'est trompé. Plusieurs philosophes contestent cette clôture rapide, en faisant valoir que la convergence d'une série répond à la question arithmétique sans répondre à la question métaphysique : comment une tâche comportant une infinité d'étapes peut-elle être achevée ? C'est le débat sur les supertâches, encore actif au XXe siècle.

Bergson déplace entièrement le problème. Selon lui, les paradoxes ne portent jamais sur le mouvement lui-même, qui se fait d'un seul élan et ne se divise pas, mais sur la ligne qu'il laisse derrière lui, et qui, elle, se divise indéfiniment. L'erreur serait de substituer la trajectoire au trajet. Bertrand Russell, à l'opposé, tient Zénon pour un raisonneur d'une extrême subtilité et voit dans l'analyse moderne de l'infini le cadre où ses arguments trouvent enfin une formulation claire.

Hors de la philosophie, Achille et la tortue sont devenus un bien commun : manuels de mathématiques, traités de logique, littérature, de Paul Valéry à Jorge Luis Borges, qui a consacré plusieurs pages aux avatars de la tortue.

Comment lire ces textes aujourd'hui

Un conseil pratique : ne cherchez pas d'abord la réfutation. Les paradoxes de Zénon ne sont intéressants que si vous acceptez, un moment, de les trouver convaincants. Leur fonction historique n'a pas été d'établir une thèse, mais de forcer à préciser des notions que l'on croyait claires - l'espace, le temps, la division, la somme. À ce titre, ils sont l'un des plus anciens exemples de ce que peut un argument : non pas prouver, mais rendre un problème inévitable.