Logicisme

Contre Kant

Le programme se comprend d'abord comme une réponse. Pour Kant, les propositions de l'arithmétique sont synthétiques a priori : nécessaires, mais non analytiques, car le prédicat n'est pas contenu dans le sujet, et leur connaissance suppose une construction dans l'intuition du temps. Cette solution avait un prix, celui de faire dépendre les mathématiques d'une faculté sensible.

Gottlob Frege a jugé ce prix trop élevé. Dans Les Fondements de l'arithmétique, en 1884, il soutient que les vérités arithmétiques sont analytiques, et il entreprend de le montrer en définissant les nombres sans rien emprunter à l'intuition. Il réserve en revanche un sort différent à la géométrie, qu'il continue de tenir pour synthétique a priori : le logicisme de Frege est un logicisme de l'arithmétique, pas de toutes les mathématiques.

La construction de Frege

Deux outils rendent l'entreprise possible. Le premier est la logique que Frege a créée en 1879 dans son Idéographie, premier système à quantificateurs et variables qui permette d'exprimer des raisonnements que le syllogisme ne pouvait pas formaliser. Le second est une définition du nombre qui passe par les concepts plutôt que par les choses.

L'idée est la suivante. Dire combien il y a d'objets d'une certaine sorte, c'est attribuer quelque chose non aux objets mais au concept sous lequel ils tombent. Deux concepts sont équinumériques s'il existe une correspondance un à un entre leurs objets, relation qui se définit en termes purement logiques. Le nombre d'un concept est alors défini comme l'extension du concept « être équinumérique à ce concept ». Zéro devient le nombre du concept contradictoire, et l'on engendre la suite des entiers sans jamais recourir à l'intuition.

Frege formalise ce programme dans les Lois fondamentales de l'arithmétique, dont le premier volume paraît en 1893 et le second en 1903. Entre les deux, une lettre de Bertrand Russell, en 1902, lui signale que son système autorise la construction de l'ensemble des ensembles qui ne s'appartiennent pas à eux-mêmes, dont on ne peut dire ni qu'il s'appartient ni qu'il ne s'appartient pas. La contradiction frappe l'axiome qui permettait de passer d'un concept à son extension. Frege a ajouté un appendice proposant une correction, qu'il a lui-même reconnue insuffisante, et il a renoncé au programme.

Russell, Whitehead et une autre ambition

Russell reprend le projet en l'élargissant : pour lui, c'est l'ensemble des mathématiques qui se ramène à la logique. Avec Alfred North Whitehead, il publie entre 1910 et 1913 les trois volumes des Principia Mathematica, l'un des ouvrages les plus imposants et les moins lus de la philosophie du XXe siècle.

Pour éviter le paradoxe, Russell introduit une théorie des types qui interdit à une collection de se contenir elle-même, puis une hiérarchie ramifiée des propositions, dont il doit atténuer les effets par un axiome supplémentaire. C'est là que les critiques se concentrent. Cet axiome, comme ceux de l'infini et du choix sur lesquels l'édifice s'appuie, ne ressemble pas à une loi logique : il a l'air d'une hypothèse sur ce qui existe. Or si la réduction a besoin d'hypothèses existentielles, elle ne fait pas ce qu'elle promettait, qui était de montrer que l'arithmétique ne présuppose rien.

Il faut mentionner à côté une autre lignée, souvent rangée sous le même nom. Richard Dedekind, dès 1888, caractérise les entiers par une structure plutôt que par des définitions d'objets. Sa démarche est logiciste au sens large, en ce qu'elle se passe de l'intuition, mais elle annonce le structuralisme mathématique plus que le programme frégéen.

Le mot et le triptyque

Le terme lui-même s'est fixé tardivement. C'est autour de 1930, dans l'orbite du Cercle de Vienne et par les écrits de Rudolf Carnap, que le logicisme est présenté comme l'une des trois grandes positions sur les fondements des mathématiques, à côté du formalisme de David Hilbert, pour qui les mathématiques sont la manipulation réglée de symboles sans contenu, et de l'intuitionnisme de Luitzen Brouwer, qui fait reposer les mathématiques sur une activité mentale de construction et refuse pour cette raison le tiers exclu dans l'infini. Ce triptyque a durablement organisé l'enseignement de la question, au risque de simplifier des positions qui ne se répondaient pas toujours.

Pour Carnap et les empiristes logiques, la thèse avait un intérêt précis : si les mathématiques sont analytiques, l'empirisme peut en rendre compte sans concéder qu'il existe des vérités nécessaires sur le monde connues indépendamment de l'expérience. Le Wittgenstein du Tractatus tient dans le même esprit les propositions mathématiques pour des équations sans contenu, avant de rompre avec cette conception dans ses travaux ultérieurs sur les mathématiques comme pratique réglée.

Les objections décisives

Trois coups ont porté.

Le paradoxe de Russell d'abord, qui a montré que la logique de Frege, telle qu'elle était, n'était pas cohérente.

Les théorèmes de Kurt Gödel ensuite, établis en 1931 : dans tout système formel cohérent et suffisamment riche pour contenir l'arithmétique, il existe des énoncés vrais qu'on ne peut pas y démontrer, et la cohérence du système ne peut pas y être prouvée. Le résultat visait d'abord le programme de Hilbert, mais il atteint aussi l'ambition logiciste d'une déduction complète des vérités arithmétiques à partir de principes logiques.

La critique de l'analyticité enfin. Si la réduction se fait non vers la logique au sens strict mais vers la théorie des ensembles, laquelle affirme l'existence d'objets, le gain épistémologique s'évanouit. Et si, comme le soutient Willard Van Orman Quine en 1951, la distinction entre propositions analytiques et synthétiques ne tient pas, le but même du logicisme perd son sens, puisqu'il consistait à ranger les mathématiques du côté de l'analytique. Il faut noter que Quine restait par ailleurs très proche de l'esprit du programme, ce qui rend sa position difficile à résumer.

Le néologicisme

Le programme a connu une reprise à partir des années 1980, principalement sous l'impulsion de Crispin Wright, rejoint par Bob Hale. Son point de départ est un résultat technique : si l'on ajoute à la logique du second ordre le seul principe selon lequel deux concepts ont le même nombre lorsqu'ils sont équinumériques, on peut dériver les axiomes de l'arithmétique. Autrement dit, la partie fautive du système de Frege, celle qui engendrait le paradoxe, n'était pas nécessaire à la construction des nombres.

Reste à savoir ce que vaut ce principe. S'il est analytique, ou simplement constitutif de la notion de nombre, une forme de logicisme est sauvée. S'il affirme implicitement l'existence d'une infinité d'objets, il est une hypothèse comme les autres. Le débat se poursuit, notamment autour de la difficulté dite de la mauvaise compagnie : des principes de forme analogue, également plausibles, conduisent à des contradictions, ce qui oblige à expliquer pourquoi celui-ci serait recevable.

Un autre usage du mot

Il existe en français un emploi plus large, souvent critique, où le logicisme désigne la confiance excessive accordée à la forme logique dans l'analyse de la pensée, du langage ou de la vie psychique. On parle ainsi de logicisme pour reprocher à une psychologie de modeler le raisonnement effectif sur les règles de la logique formelle, ou à une philosophie du langage de négliger les usages au profit de la structure. Cet emploi n'a aucun rapport historique avec le programme de Frege et de Russell. Il vaut mieux le signaler que de laisser le lecteur confondre les deux, ce qui arrive régulièrement.

Ce qui reste

Le logicisme n'est plus tenu pour une position établie, mais son échec a été productif. On lui doit la logique moderne des prédicats, un ensemble de résultats sur les limites des systèmes formels, et la discipline même de la philosophie des mathématiques telle qu'elle se pratique. On lui doit aussi une leçon de méthode : chercher à tout démontrer à partir de rien conduit à découvrir précisément ce qu'on ne peut pas ne pas supposer.