Logicisme

Contre Kant et contre Mill

Le logicisme naît d'un double refus.

Il refuse d'abord la réponse de Kant, pour qui les jugements arithmétiques sont synthétiques a priori : vrais indépendamment de l'expérience, mais non tirés des seuls concepts, puisqu'ils supposent la construction dans l'intuition du temps. Sept plus cinq égale douze n'est pas, selon Kant, contenu dans les concepts de sept, de cinq et d'addition.

Il refuse ensuite la réponse empiriste de John Stuart Mill, pour qui les vérités arithmétiques sont des généralisations très bien confirmées, obtenues par induction à partir de l'expérience des collections d'objets. Cette réponse a l'inconvénient de rendre contingent ce qui paraît nécessaire.

À cela s'ajoute un refus de méthode : le psychologisme, qui fait des lois logiques des lois de la pensée effective. Si la logique décrivait comment nous pensons, elle serait une branche de la psychologie et ses énoncés seraient révisables comme des faits. Husserl mènera de son côté, dans les Prolégomènes à la logique pure, une critique convergente.

Frege

Gottlob Frege est le fondateur du programme et l'inventeur des moyens de le mener. Son Idéographie, en 1879, introduit la logique des prédicats avec quantificateurs et variables liées, c'est-à-dire l'instrument qui manquait depuis Aristote pour analyser les énoncés mathématiques. Le syllogisme scolastique ne permettait pas de formaliser un énoncé comportant plusieurs quantifications imbriquées ; la nouvelle notation le permet.

Son idée centrale, exposée dans les Fondements de l'arithmétique en 1884, est que le nombre n'est une propriété ni des choses ni de nos représentations, mais des concepts. Dire qu'il y a trois satellites, c'est dire quelque chose du concept de satellite de cette planète. Frege définit alors l'identité de nombre par la possibilité d'une correspondance biunivoque entre les objets qui tombent sous deux concepts, puis définit zéro, le successeur et la suite des entiers naturels sans rien emprunter à l'intuition.

Il faut noter une restriction que l'on oublie souvent : Frege ne tenait pas la géométrie pour réductible à la logique. Il lui accordait le statut kantien de connaissance synthétique a priori fondée sur l'intuition de l'espace. Son logicisme concerne l'arithmétique et l'analyse.

La lettre de Russell

En 1902, alors que le second volume des Lois fondamentales de l'arithmétique est sous presse, Bertrand Russell écrit à Frege pour lui signaler une contradiction. Le principe qui autorise à former l'extension d'un concept quelconque permet de considérer l'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes ; cet ensemble se contient si et seulement s'il ne se contient pas.

Frege ajoute en hâte un appendice, tente une réparation qui se révélera insuffisante, et finit par renoncer au programme. L'épisode est l'un des plus droits de l'histoire des sciences : il reconnaît publiquement que le fondement de son édifice est ruiné.

Les Principia Mathematica

Russell, aidé d'Alfred North Whitehead, reprend le projet et publie entre 1910 et 1913 les trois volumes des Principia Mathematica. Pour éviter le paradoxe, il introduit une théorie des types qui hiérarchise les entités et interdit les énoncés où un ensemble se prend lui-même pour élément. Le résultat est une reconstruction monumentale de l'arithmétique à partir de principes logiques, au prix de plusieurs ajouts dont le statut fait difficulté.

Trois d'entre eux sont constamment discutés : l'axiome de l'infini, qui postule l'existence d'une infinité d'individus, l'axiome de réductibilité, destiné à assouplir la hiérarchie des types, et l'axiome du choix. Aucun de ces principes n'est évidemment logique : ils ressemblent plutôt à des hypothèses sur ce qu'il y a. Si l'arithmétique ne se déduit qu'à l'aide d'axiomes existentiels, la thèse logiciste est affaiblie d'autant.

Le Cercle de Vienne

Le logicisme trouve une seconde vie dans l'empirisme logique. Rudolf Carnap et ses collègues y voient la pièce qui manquait à leur édifice : si les mathématiques sont analytiques, alors tout le savoir se partage sans reste entre énoncés analytiques, qui ne disent rien du monde, et énoncés empiriques, vérifiables par l'observation. La métaphysique se trouve exclue par construction. Le logicisme devient ainsi un argument de politique philosophique autant qu'une thèse technique.

Wittgenstein occupe une position à part. Le Tractatus tient les propositions de la logique pour des tautologies qui ne disent rien, et les énoncés mathématiques pour des équations également vides de contenu : ce n'est pas le logicisme de Frege et de Russell, dont il fut l'élève, mais une manière plus radicale de leur retirer toute portée informative. Dans sa seconde philosophie, il critiquera vivement l'idée même d'un fondement des mathématiques.

Les trois concurrents

Le logicisme n'a jamais été seul. Le premier tiers du XXe siècle voit s'affronter trois programmes.

L'intuitionnisme, formulé par le mathématicien Luitzen Brouwer, soutient que les objets mathématiques n'existent que construits par l'esprit, et refuse en conséquence le principe du tiers exclu appliqué à l'infini ainsi que les démonstrations d'existence non constructives. La logique y est subordonnée à la mathématique, et non l'inverse.

Le formalisme, défendu par David Hilbert, propose de traiter les mathématiques comme un système de signes manipulés selon des règles, et de prouver par des moyens élémentaires la cohérence de l'ensemble.

Le platonisme mathématique, enfin, soutient que les objets mathématiques existent indépendamment de nous et que nous les connaissons par une forme de perception intellectuelle.

Gödel

En 1931, Kurt Gödel démontre que tout système formel cohérent et suffisamment riche pour contenir l'arithmétique comporte des énoncés vrais qu'il ne peut démontrer, et qu'il ne peut établir sa propre cohérence. Le résultat atteint directement le programme de Hilbert. Il affecte aussi le logicisme, puisqu'il interdit d'espérer un système unique d'où toutes les vérités arithmétiques se déduiraient.

Il faut se garder des conclusions trop rapides que l'on tire parfois de ces théorèmes. Ils ne montrent pas que les mathématiques sont incertaines, ni que l'esprit humain excède toute machine. Ils établissent une limite précise sur ce qu'un système formel peut faire, et c'est déjà considérable.

L'objection de Quine

Une autre objection, plus sobre, a beaucoup pesé. Willard Van Orman Quine a fait remarquer que les Principia ne réduisent pas tant les mathématiques à la logique qu'à la théorie des ensembles, et que la théorie des ensembles n'est pas de la logique : elle comporte des axiomes existentiels, elle admet des variantes concurrentes, elle ressemble en somme à une théorie mathématique parmi d'autres. Si la réduction aboutit à une autre mathématique, elle ne fonde rien.

Le néologicisme

Depuis les années 1980, le programme a été relancé sous une forme révisée. Crispin Wright, puis Bob Hale, ont observé que les contradictions de Frege viennent de son principe sur les extensions de concepts, et non de sa définition du nombre. Or on démontre que l'arithmétique se déduit, dans une logique du second ordre, du seul principe qui identifie les nombres de deux concepts lorsqu'une correspondance biunivoque existe entre leurs objets, principe que Frege avait emprunté à une remarque de Hume. Ce résultat, appelé théorème de Frege, redonne une actualité à la thèse.

Deux objections l'attendent. La première demande si ce principe est bien analytique, ou s'il n'est pas une hypothèse d'existence déguisée, puisqu'il garantit l'existence d'une infinité d'objets. La seconde, dite de la mauvaise compagnie, observe que des principes de même forme engendrent des contradictions, et demande quel critère permet de retenir le bon en écartant les autres. Le débat est technique et il est vivant.

Ce que le logicisme a laissé

Même si l'on juge la thèse réfutée, son bilan est considérable.

Il a donné la logique mathématique moderne, qui est l'outil commun de la philosophie analytique, de l'informatique théorique et de la linguistique formelle. Il a constitué la philosophie des mathématiques en discipline autonome, avec ses problèmes propres. Il a imposé une exigence de formalisation qui a changé la manière d'écrire la philosophie. Il a produit, enfin, un modèle de ce qu'est une recherche philosophique collective : une thèse claire, des conséquences vérifiables, des réfutations publiques et des reformulations successives.

Ne pas confondre

Le logicisme n'est ni le formalisme, auquel on l'oppose sur le statut des signes, ni le positivisme logique, qui l'utilise sans s'y réduire, ni le platonisme mathématique, qui admet des objets abstraits indépendants. Il ne se confond pas non plus avec l'usage de la logique en mathématiques, qui est une pratique et non une thèse sur leur nature.