Les Fondements de l'arithmétique

Analyse

Qu'est-ce que le nombre un ? La question paraît naïve, et Frege la pose sérieusement en 1884, en remarquant que les mathématiciens n'ont pas de réponse. Ils savent calculer, ils ne savent pas dire ce qu'ils manipulent, et cette ignorance n'est pas sans conséquence : une science qui ne sait pas de quoi elle parle reste à la merci des philosophes qui le lui diront mal.

Le livre est court, presque sans symboles, écrit dans une prose polémique et souvent drôle. Entre l'Idéographie de 1879, qui invente la logique moderne, et les Lois fondamentales de l'arithmétique, qui en tireront un système formel, il tient la place de l'exposé philosophique.

Trois principes de méthode

L'introduction en énonce trois, qui commandent tout.

Il faut séparer nettement le psychologique du logique, le subjectif de l'objectif. Ce qui se passe dans une tête quand elle compte n'intéresse pas l'arithmétique : la vérité d'une proposition ne dépend d'aucune représentation mentale.

Il faut chercher la signification des mots dans le contexte de la proposition, et non isolément. Ce principe, que la postérité a baptisé principe de contexte, interdit de demander ce qu'est le nombre quatre hors de tout énoncé où il figure.

Il faut enfin ne jamais perdre de vue la distinction du concept et de l'objet, qui deviendra l'un des piliers de la logique frégéenne.

Ce que le nombre n'est pas

La première partie démolit les réponses disponibles, et elle le fait avec un plaisir visible.

Le nombre n'est pas une propriété des choses extérieures, comme la couleur ou le poids. Un tas de cartes à jouer est aussi bien un jeu de cartes, cinquante-deux cartes ou quatre couleurs : le nombre change selon ce que l'on considère, alors que la couleur du tapis ne change pas selon qu'on le regarde comme un tapis ou comme un ensemble de fils.

Il n'est pas davantage un fait physique, contre Mill, qui voyait dans les additions des vérités tirées de l'expérience des agrégats. Frege demande quel fait physique correspond au nombre zéro, et quel fait physique un homme aurait observé pour établir une proposition portant sur un million d'objets.

Il n'est pas une représentation dans l'esprit, contre les psychologues. S'il l'était, il y aurait autant de nombres deux que de têtes pour y penser, et les mathématiques deviendraient une branche de la psychologie, variable comme elle.

Il n'est pas enfin le produit d'une intuition pure, contre Kant. Frege accepte la thèse kantienne pour la géométrie, dont il admet qu'elle repose sur l'intuition de l'espace. Il la refuse pour l'arithmétique, qu'il tient pour analytique : ses vérités se tirent de définitions et de lois logiques, sans que rien d'extérieur à la logique y entre.

Ce que le nombre est

La thèse positive tient en une formule : l'énoncé d'un nombre contient une assertion sur un concept.

Quand je dis que Jupiter a quatre lunes, je ne dis rien d'un objet quelconque : je dis du concept lune de Jupiter qu'il tombe sous le nombre quatre. Quand je dis qu'il n'y a pas de satellite de Vénus, je dis du concept satellite de Vénus qu'il tombe sous le nombre zéro. Cette analyse explique immédiatement ce que les théories précédentes ne pouvaient expliquer : comment un même tas peut recevoir des nombres différents, puisqu'il tombe sous des concepts différents.

Reste à définir l'égalité des nombres. Frege reprend un critère qu'il attribue à Hume : le nombre des F est le même que le nombre des G quand il existe une correspondance terme à terme entre les F et les G. On le nomme aujourd'hui principe de Hume, et il est au centre de tout le travail contemporain sur ce livre.

Frege construit alors ses définitions. Le nombre qui appartient au concept F est l'extension du concept équinumérique à F. Le zéro est le nombre qui appartient au concept non identique à soi-même, concept sous lequel rien ne tombe pour des raisons purement logiques. Il définit ensuite la relation de succession et esquisse la preuve que tout nombre a un successeur, ce qui donne l'infinité de la suite.

Le problème de Jules César

Frege relève lui-même une difficulté qui a beaucoup occupé ses lecteurs. Le critère par correspondance dit quand deux nombres sont identiques, mais il ne permet pas de décider si Jules César est un nombre. Un critère d'identité qui ne vaut qu'à l'intérieur d'une classe d'objets ne dit pas ce que sont ces objets, et c'est ce qui conduit Frege à définir les nombres par des extensions de concepts, décision qui se révélera fatale.

L'effondrement

Neuf ans plus tard commence la publication des Lois fondamentales, où le programme est mené formellement. Le second volume est sous presse quand, en juin 1902, Bertrand Russell écrit à Frege pour lui signaler une contradiction dans son système : le concept d'ensemble qui ne se contient pas lui-même conduit à une absurdité.

Frege ajoute en hâte une postface qui commence par une phrase devenue célèbre : un savant ne peut guère rencontrer de pire malheur que de voir s'effondrer le fondement de son travail au moment même où il l'achève. Il tente une réparation, l'abandonne, et renoncera au logicisme à la fin de sa vie.

Une œuvre revenue

Le livre a pourtant eu la plus étonnante des postérités. En 1983, Crispin Wright montre qu'on peut dériver les axiomes de l'arithmétique à partir du seul principe de Hume, dans une logique du second ordre, sans passer par les extensions de concepts qui avaient provoqué la contradiction. Ce résultat, que l'on appelle le théorème de Frege, a ouvert le courant néologiciste, actif depuis quarante ans.

Autrement dit, la partie du livre qui semblait un détour, le critère d'identité par correspondance, était l'essentiel ; et la partie qui semblait l'essentiel, la définition par extensions, était l'erreur.

Michael Dummett, qui a consacré une grande part de sa vie à Frege, a montré en outre que le principe de contexte et la distinction du concept et de l'objet avaient par eux-mêmes refondé la philosophie du langage, indépendamment du sort de l'arithmétique.

Sources

Sources principales

Frege, Gottlob, Les Fondements de l'arithmétique, 1884. Texte primaire, lu intégralement, en particulier l'introduction sur les trois principes, la critique de Mill et de Kant, l'analyse des énoncés de nombre comme assertions sur un concept, et les paragraphes sur le critère d'identité et le problème de Jules César.

Frege, Gottlob, Lois fondamentales de l'arithmétique, 1893 et 1903, avec la postface du second volume. Texte primaire, pour la mise en forme du programme et pour l'aveu qui suit la lettre de Russell.

Russell, Bertrand, lettre à Frege du 16 juin 1902. Elle a servi pour la formulation exacte de la contradiction et pour la chronologie de l'effondrement.

Wright, Crispin, Frege's Conception of Numbers as Objects, 1983. Cet ouvrage a servi pour le théorème de Frege et pour la renaissance néologiciste.

Dummett, Michael, Frege: Philosophy of Mathematics, 1991. Cet ouvrage a servi pour le principe de contexte et pour la portée de la distinction du concept et de l'objet.

Bibliographie et lectures recommandées

Mill, John Stuart, Système de logique, livre II, pour la conception empiriste du nombre que Frege attaque.

Imbert, Claude, introduction à sa traduction française, Seuil, pour la situation du livre dans l'histoire de la logique.

Wikipédia FR et EN, articles « Les Fondements de l'arithmétique » et « The Foundations of Arithmetic », consultés en novembre 2026.

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