Le platonisme mathématique

La thèse et ses trois composantes

Les commentateurs décomposent généralement la position en trois affirmations, qu'il est utile de séparer car on peut en accepter certaines sans les autres.

L'existence : il y a des objets mathématiques. Les énoncés des mathématiques portent sur quelque chose, et quand un théorème affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers, il faut le prendre au pied de la lettre.

L'abstraction : ces objets ne sont pas spatiaux, pas temporels, pas causalement efficaces. Le nombre deux n'est nulle part et n'a jamais commencé.

L'indépendance : ils ne dépendent ni de nos esprits, ni de nos langages, ni de nos pratiques. Si l'humanité disparaissait, la conjecture resterait vraie ou fausse.

Un platonisme complet tient les trois. Beaucoup de positions intermédiaires n'en retiennent qu'une ou deux, et une bonne part du débat contemporain consiste à explorer ces combinaisons.

Les antécédents

L'appellation renvoie bien sûr à la théorie des Formes, et à la place que Platon accorde aux mathématiques dans la formation du philosophe : le passage par la géométrie détourne l'âme du sensible et l'oriente vers ce qui est toujours. La République et le Ménon tiennent les objets mathématiques pour des intermédiaires entre les choses sensibles et les Formes.

Mais l'assimilation a ses limites. Chez Platon, les objets mathématiques ont une fonction dans une ontologie générale et une pédagogie de l'âme. Chez un platoniste contemporain, la question est strictement sémantique et épistémologique : que faut-il admettre pour que nos énoncés mathématiques soient vrais, et comment pouvons-nous le savoir ? Les platonistes d'aujourd'hui n'adhèrent pas à la théorie des Formes et la plupart n'ont aucune doctrine de la réminiscence.

D'autres antécédents comptent : Leibniz et ses vérités de raison valables dans tous les mondes possibles, Bernard Bolzano pour sa défense des propositions en soi, et l'ensemble de la tradition qui tient la nécessité mathématique pour irréductible à l'expérience.

Frege, fondateur de la version moderne

C'est Gottlob Frege qui donne à la position sa forme contemporaine, dans les Fondements de l'arithmétique en 1884 puis dans ses travaux ultérieurs.

Son argument est d'abord négatif. Les nombres ne sont pas des choses physiques, puisqu'on peut compter ce qui n'existe pas. Ils ne sont pas davantage des représentations mentales : si le nombre deux était une idée dans ma tête, votre deux ne serait pas le mien, et l'arithmétique deviendrait une affaire de psychologie privée. Frege consacre des pages mordantes à ce qu'il appelle le psychologisme et le tient pour la source principale de la confusion en logique.

L'argument positif en découle. Les nombres sont objectifs sans être réels au sens des choses sensibles : ils appartiennent à un troisième domaine, ni physique ni psychique. Frege compare parfois notre rapport à ce domaine à une saisie, et c'est de là que viendra l'une des grandes difficultés du platonisme.

Il faut noter que Frege est aussi logiciste : il tient que l'arithmétique se ramène à la logique. Les deux positions sont distinctes et le logicisme peut se soutenir sans platonisme, mais leur conjonction chez Frege a durablement associé les deux.

Les arguments contemporains

Deux familles d'arguments dominent la discussion depuis le milieu du XXe siècle.

Le premier est l'argument d'indispensabilité, associé aux travaux de Quine et de Hilary Putnam. Il se formule à peu près ainsi : nous devons admettre l'existence de tout ce dont nos meilleures théories scientifiques ont besoin ; or la physique est inséparable des mathématiques, qu'elle quantifie sur des nombres réels, des espaces vectoriels ou des variétés ; donc nous devons admettre l'existence des objets mathématiques. L'argument a l'avantage de ne rien supposer d'une intuition spéciale : il fait reposer l'ontologie mathématique sur la science.

Le second est l'argument sémantique. Si l'on prend au sérieux la forme des énoncés mathématiques, ils ressemblent aux énoncés ordinaires portant sur des objets. Dire que sept est premier a la même structure que dire que Pierre est grand. Si l'on veut une théorie uniforme de la vérité et de la référence, on doit donc accorder une référence aux termes numériques. Les travaux d'Alfred Tarski sur la vérité, en fournissant un cadre sémantique rigoureux, ont nourri cette ligne de raisonnement.

Kurt Gödel, enfin, a défendu une version forte de la position, incluant une faculté d'intuition mathématique analogue à la perception, qu'il invoquait pour justifier l'adoption de nouveaux axiomes en théorie des ensembles. Peu de platonistes contemporains le suivent sur ce point.

Les objections

La difficulté la plus sérieuse est épistémologique, et Paul Benacerraf lui a donné en 1973 sa formulation classique. Si les objets mathématiques sont hors de l'espace et du temps et sans pouvoir causal, aucune interaction n'est possible avec eux. Comment alors expliquer que nos croyances mathématiques soient vraies plutôt que fausses ? Toute théorie de la connaissance exige un lien entre le connaissant et le connu, et le platonisme semble exclure ce lien par construction.

Le même auteur a formulé une seconde objection, dite du problème de l'identification. On peut définir les entiers naturels comme des ensembles de plusieurs manières également correctes, et rien ne permet de dire laquelle donne les vrais nombres. S'il existe des objets déterminés, pourtant, la question devrait avoir une réponse.

Les adversaires viennent par ailleurs de plusieurs directions. Ludwig Wittgenstein conteste l'idée même d'un domaine d'objets à découvrir : les mathématiques sont pour lui une activité réglée, et un théorème est moins une vérité trouvée qu'une norme adoptée. Rudolf Carnap tient la question de l'existence des nombres pour une pseudo-question externe à un cadre linguistique. Les intuitionnistes, à la suite de Brouwer, font des objets mathématiques des constructions de l'esprit et refusent en conséquence certains principes logiques. Les nominalistes contemporains, à la suite de Hartry Field, tentent de montrer que la science peut se passer de référence aux entités abstraites.

Réponses et positions intermédiaires

Le débat a produit un grand nombre de positions nuancées. Penelope Maddy a proposé un platonisme naturalisé qui cherche à rendre les ensembles perceptibles, avant de s'en éloigner. Le structuralisme, défendu notamment par Stewart Shapiro et Michael Resnik, soutient que les mathématiques ne portent pas sur des objets mais sur des structures, ce qui désamorce le problème de l'identification. Mark Balaguer a défendu un platonisme plénitudinaire selon lequel tous les objets mathématiques possibles existent, de sorte que toute théorie cohérente décrit quelque chose, ce qui résout l'objection épistémologique au prix d'une ontologie très généreuse.

Une observation revient souvent dans ces discussions : beaucoup de mathématiciens en exercice se comportent spontanément en platonistes, décrivant leur travail comme une exploration, tout en se déclarant volontiers formalistes quand on les interroge. Ce décalage entre la pratique et la profession de foi est lui-même devenu un objet d'étude.

Pourquoi le débat compte

La question peut sembler scolastique. Elle ne l'est pas, pour au moins deux raisons.

D'abord parce qu'elle met à l'épreuve nos critères d'existence. Si l'on refuse les nombres parce qu'ils ne sont pas observables, il faut dire ce qu'on fait des autres entités théoriques, et la frontière est moins nette qu'il n'y paraît.

Ensuite parce qu'elle touche à l'énigme de l'efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature. Qu'une discipline développée pour elle-même, souvent sans aucune visée applicative, se révèle des décennies plus tard l'outil exact dont la physique avait besoin est un fait qui demande explication. Le platonisme en propose une, simple et coûteuse : les mathématiques décrivent quelque chose de réel. Ses adversaires doivent en proposer une autre.